\documentclass[12pt,a4paper]{article} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T2A]{fontenc} \usepackage[russian]{babel} \usepackage{amsmath, amssymb, amsthm} \usepackage{geometry} \usepackage{enumitem} \usepackage{titlesec} \geometry{left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2cm} \title{Задание №18: Параметры} \author{Сборник задач} \date{} \titleformat{\section}{\large\bfseries}{\thesection.}{0.5em}{} \begin{document} \maketitle \tableofcontents \newpage \section{Уравнения, сводящиеся к квадратным (замена переменной, показательные)} \begin{enumerate}[label=\textbf{\arabic*.}] \item \textbf{2. 617476} Найдите все значения \(a\), для каждого из которых уравнение \[4^x + (a - 6)2^x = (2 + 3|a|)2^x + (a - 6)(3|a| + 2)\] имеет единственное решение. \item \textbf{3. В384ВС} Найдите все значения \(a\), для каждого из которых уравнение \[25^x - (a + 6)5^x = (5 + 3|a|)5^x - (a + 6)(3|a| + 5)\] имеет единственное решение. \item \textbf{23. 11D603} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \[a\left( x + \frac{4}{x} \right)^2 + 2\left( x + \frac{4}{x} \right) - 25a + 10 = 0\] имеет ровно два различных корня. \item \textbf{33. 93CF53} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \[\sqrt{x^2 - a^2} = \sqrt{4x^2 - (4a + 2)x + 2a}\] на отрезке \([0;1]\) имеет ровно один корень. \end{enumerate} \section{Уравнения и системы с модулями} \begin{enumerate}[label=\textbf{\arabic*.}] \item \textbf{10. 0T3F98} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \[a^2 - ax - 2x^2 - 6a + 3x + 9|x| = 0\] имеет четыре различных корня. \item \textbf{11. EE054F} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \[\begin{cases} x^4 + y^2 = a^2, \\ x^2 + y = |2a - 4| \end{cases}\] имеет ровно четыре различных решения. \item \textbf{12. 421A63} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \[|x^2 + a^2 - 6x - 4a| = 2x + 2a\] имеет четыре различных корня. \item \textbf{16. АВЕ248} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \[\begin{cases} x + ay + a - 2 = 0, \\ x|y| + x - 2 = 0 \end{cases}\] имеет единственное решение. \item \textbf{18. 0106DC} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \[x^4 + (a - 3)^2 = |x - a + 3| + |x + a - 3|\] либо имеет единственное решение, либо не имеет решений. \item \textbf{19. DA9BFE} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \[\begin{cases} y = |x - a| - 4, \\ 4|y| + x^2 + 8x = 0 \end{cases}\] имеет ровно четыре различных решения. \item \textbf{20. CD8BF3} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \[\begin{cases} x^2 + y^2 - 4(a + 1)x - 2ay + 5a^2 + 8a + 3 = 0, \\ y^2 = x^2 \end{cases}\] имеет ровно четыре различных решения. \item \textbf{21. 7B51Ф} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \[\begin{cases} x + y = a, \\ |y| = |x^2 - 2x| \end{cases}\] имеет ровно два различных решения. \item \textbf{25. 44907E} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \[x^2 + a^2 - x - 7a = |7x - a|\] имеет ровно два различных корня. \item \textbf{36. 093D22} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \[|x^2 + a^2 - 6x + 4a| = 2x - 2a\] имеет ровно два различных корня. \item \textbf{41. EDB7D3} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \[x^2 + a^2 + x - 7a = |7x + a|\] имеет больше двух различных корней. \end{enumerate} \section{Уравнения с логарифмами и показательной функцией} \begin{enumerate}[label=\textbf{\arabic*.}] \item \textbf{1. 8D6C09} Найдите все значения \(a\), при которых уравнение \[(x + \ln(x + a))^2 = (x - \ln(x + a))^2\] имеет единственное решение на отрезке \([0; 1]\). \item \textbf{8. 3DD135} Найдите все значения \(a\), при которых уравнение \[(2x + \ln(x + 2a))^2 = (2x - \ln(x + 2a))^2\] имеет единственный корень на отрезке \([0; 1]\). \item \textbf{13. 9F53F5} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \[\sqrt{4x - 1} \cdot \ln(x^2 - 2x + 2 - a^2) = 0\] имеет ровно один корень на отрезке \([0; 1]\). \item \textbf{15. A22E40} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \[\sqrt{2 - 3x} \cdot \ln(16x^2 - a^2) = \sqrt{2 - 3x} \cdot \ln(4x + a)\] имеет ровно один корень. \item \textbf{17. CF1240} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \[\begin{cases} \log_7(36 - y^2) = \log_7(36 - a^2x^2), \\ x^2 + y^2 = 2x + 6y \end{cases}\] имеет ровно два различных решения. \item \textbf{40. 9437D5} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \[(5x - 2) \cdot \ln(x + a) = (5x - 2) \cdot \ln(2x - a)\] имеет ровно один корень на отрезке \([0;1]\). \item \textbf{45. 7F7EC4} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \[\sqrt{7x - 4} \cdot \ln(x^2 - 8x + 17 - a^2) = 0\] имеет на отрезке \([0; 4]\) ровно один корень. \item \textbf{49. 3E3293} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \[\ln(4x - 1) \cdot \sqrt{x^2 - 6x + 6a - a^2} = 0\] имеет ровно один корень на отрезке \([0; 3]\). \item \textbf{50. FF3CE9} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \[\begin{cases} \log_3(16 - y^2) = \log_3(16 - a^2x^2), \\ x^2 + y^2 = 8x + 4y \end{cases}\] имеет ровно два различных решения. \item \textbf{56. C7C26F} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \[\sqrt{x+2a} \cdot \ln(x-a) = (x-1) \cdot \ln(x-a)\] имеет ровно один корень на отрезке \([0;1]\). \item \textbf{57. 997C65} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \[\sqrt{2x-1} \cdot \ln(4x-a) = \sqrt{2x-1} \cdot \ln(5x+a)\] имеет ровно один корень на отрезке \([0;1]\). \end{enumerate} \section{Уравнения с квадратными корнями (иррациональные)} \begin{enumerate}[label=\textbf{\arabic*.}] \item \textbf{5. Е1F91F} Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[\sqrt{x^4 - 4x^2 + 9a^2} = x^2 + 2x - 3a\] имеет ровно 3 решения. \item \textbf{6. 8C0C15} Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[\sqrt{x^4 - 16x^2 + 64a^2} = x^2 + 4x - 8a\] имеет ровно 3 решения. \item \textbf{7. 211B61} Найдите все значения \(a\), при которых уравнение \[\sqrt{x^4 - 16x^2 + 64a^2} = x^2 + 4x - 8a\] имеет единственное решение на отрезке (отрезок не указан). \item \textbf{53. 8F61E2} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \[\sqrt{36 - y^2} = \sqrt{36 - a^2x^2}\] имеет ровно два различных решения (второе уравнение, вероятно, отсутствует). \item \textbf{58. 3D7367} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \[\begin{cases} \sqrt{a-y^2} = \sqrt{a-x^2}, \\ x^2 + y^2 = 2x + 4y \end{cases}\] имеет ровно два различных решения. \end{enumerate} \section{Системы уравнений (без модулей, без логарифмов)} \begin{enumerate}[label=\textbf{\arabic*.}] \item \textbf{14. 56C747} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \[\begin{cases} (xy^2 - 3xy - 3y + 9) \sqrt{3 - x} = 0, \\ y = ax \end{cases}\] имеет ровно три различных решения. \item \textbf{24. 45927B} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \[\begin{cases} ax^2 + ay^2 - (2a - 5)x + 2ay + 1 = 0, \\ x^2 + y = xy + x \end{cases}\] имеет ровно четыре различных решения. \item \textbf{28. (стр.3)} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \[\begin{cases} (x + ay - 5)(x + ay - 5a) = 0, \\ x^2 + y^2 = 16 \end{cases}\] имеет ровно четыре различных решения. \item \textbf{30. 04FEB6} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \[\begin{cases} (x^2 - 5x - y + 3) \cdot \sqrt{x - y + 3} = 0, \\ y = 3x + a \end{cases}\] имеет ровно два различных решения. \item \textbf{32. 07CC1C} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \[\begin{cases} y = (a + 2)x^2 + 2ax + a - 2, \\ y^2 = x^2 \end{cases}\] имеет ровно два различных решения. \item \textbf{34. 37FD10} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \[\begin{cases} (x^2 - 5x - y + 3) \cdot \sqrt{x - y + 3} = 0, \\ y = ax + a \end{cases}\] имеет ровно два различных решения. \item \textbf{35. 4A8E2F} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \[\begin{cases} (x^2 + y^2 + 4x) \cdot \sqrt{2x + y + 6} = 0, \\ y = ax - 2a \end{cases}\] имеет ровно два различных решения. \item \textbf{38. F3A6D5} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \[\begin{cases} \log_{11}(a - y^2) = \log_{11}(a - x^2), \\ x^2 + y^2 = 2x + 6y \end{cases}\] имеет ровно два различных решения. \item \textbf{43. F605A0} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \[\begin{cases} 4x - y + a = 0 \\ 2|y| - x^2 + 4x = 0 \end{cases}\] имеет ровно два различных решения. \item \textbf{44. 752FA4} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \[\begin{cases} (xy - 2x + 12) \cdot \sqrt{y - 2x + 12} = 0 \\ y = ax - 10 \end{cases}\] имеет ровно два различных решения. \item \textbf{46. 6854C0} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \[\begin{cases} (xy - 2x + 12) \cdot \sqrt{y - 2x + 12} = 0 \\ y = 3x + a \end{cases}\] имеет ровно два различных решения. \item \textbf{47. DADE95} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \[\begin{cases} x^2 + y^2 = 6x + 8y - 9, \\ x^2 + y^2 = a^2 \end{cases}\] имеет ровно два различных решения. \item \textbf{51. D5ABE6} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \[\begin{cases} ax^2 + ay^2 + 2ax + (a+2)y + 1 = 0, \\ xy + 1 = x + y \end{cases}\] имеет ровно четыре различных решения. \item \textbf{52. E156E1} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \[\begin{cases} x^4 - y^4 = 12a - 28 \\ x^2 + y^2 = a \end{cases}\] имеет ровно четыре различных решения. \item \textbf{54. 7CC260} Найдите все положительные значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \[\begin{cases} |x| + |y| = a \\ y = \sqrt{x + 4} \end{cases}\] имеет ровно два различных решения. \end{enumerate} \section{Системы неравенств} \begin{enumerate}[label=\textbf{\arabic*.}] \item \textbf{9. 456B95} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система неравенств \[\begin{cases} x \le 2a + 6 \\ 6x \ge x^2 + a^2 \\ x + a > 0 \end{cases}\] имеет хотя бы одно решение на отрезке \([1; 2]\). \item \textbf{22. ВВ4А02} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система неравенств \[\begin{cases} 2a \le x, \\ 6x > x^2 + a^2, \\ x + a \le 6, \end{cases}\] имеет хотя бы одно решение на отрезке \([4; 5]\). \item \textbf{31. AD93BF} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система неравенств \[\begin{cases} ax \geq 2, \\ \sqrt{x-1} > a, \\ 3x \leq 2a + 11 \end{cases}\] имеет хотя бы одно решение на отрезке \([3;4]\). \end{enumerate} \section{Уравнения с тригонометрическими функциями} \begin{enumerate}[label=\textbf{\arabic*.}] \item \textbf{4. 36F316} Найдите все значения \(a\), при которых уравнение \[(2x + a + 1 - \operatorname{tg}x)^2 = (2x + a - 1 + \operatorname{tg}x)^2\] имеет единственное решение на отрезке \([0; \pi]\). \end{enumerate} \section{Уравнения, содержащие комбинации модулей, квадратов и параметров (сложные)} \begin{enumerate}[label=\textbf{\arabic*.}] \item \textbf{26. 1cce7c} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \[(4x + |x - a| - |3x + 1|)^2 - (a + 1)(4x + |x - a| - |3x + 1|) + 1 = 0\] имеет ровно два различных корня. \item \textbf{27. c06958} (условие не приведено, возможно, продолжение) \item \textbf{29. 831474} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \[\frac{x^2 + 8x + 16 - a^2}{x^2} = 0\] имеет ровно два различных корня. \item \textbf{37. 8257C0} (условие не указано) \item \textbf{39. D354DE} (условие обрезано) \item \textbf{42. 577658} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \[a^2 + ax - 2x^2 - 6a - 3x + 9|x| = 0\] имеет меньше четырёх различных корней. \item \textbf{48. AcF79c} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \[(3x + |x - a| + |2x + a + 1|)^2 - a(3x + |x - a| + |2x + a + 1|) + a^2 - 16 = 0\] имеет ровно один корень. \item \textbf{55. 162563} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \[\frac{4x^2 - a^2}{x^2 + 6x + 9 - a^2} = 0\] имеет ровно два различных корня. \item \textbf{59. Вс0636} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \[(\lvert x - a^2 \rvert + \lvert x + 1 \rvert)^2 - 7 (\lvert x - a^2 \rvert + \lvert x + 1\rvert) + 4a^2 + 4 = 0\] имеет ровно два различных корня. \item \textbf{60. e9FA32} Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \[(4x - 3 \lvert x + a^2 \rvert + \lvert x - 1 \rvert + 3a^2)^2 - (a + 1) (4x - 3 \lvert x + a^2 \rvert + \lvert x - 1 \rvert + 3a^2) + 4 = 0\] имеет ровно два различных корня. \end{enumerate} \end{document}